Sivut

Tietoja tästä blogista

torstai 21. syyskuuta 2017

Kaikki mitä kymmenjärjestelmän opettamiseen tarvitaan

Kymmenjärjestelmän opettaminen on yksi olennaisimmista osista matematiikan opetuksessa. Silti iso osa koululaisista rämpii läpi opintonsa ymmärtämättä sitä kunnolla. Kymmenjärjestelmän osaamattomuus tulee väistämättä näkyviin peruslaskutoimituksissa, desimaalilukujen ymmärtämisessä ja mittayksiköiden hahmottamisessa ja muunnoksissa.

Kymmenjärjestelmän hallinta on usein muistinvaraista: monet muistavat, että 100 senttimetriä on sama kuin yksi metri, tai 10 desilitraa on sama kuin 1 litra. Silti, jos tämä tieto on muistinvaraista eikä perustu kymmenjärjestelmän ymmärtämiseen, oppilaat eivät osaa antaa vastausta, kun kysytään kuinka monta metriä on yksi senttimetri (1 cm = 0,01 m) tai kuinka monta litraa on yksi desilitra (1 dl = 0,1 l), vaikka vastaukset pystyisi helposti johtamaan aiemman tiedon perusteella, jos vain ymmärtäisi, miten kymmenjärjestelmä toimii.

ELLIn valikoiman "pihvi" on asioiden konkretisoiminen ja ymmärtävä oppiminen. Niinpä olemme koonneet tähän kirjoitukseen kymmenjärjestelmän opetukseen ja konkretisoimiseen sopivia materiaaleja.

 

 

Kymmenjärjestelmävälineet

 

Kymmenjärjestelmävälineet auttavat kymmenjärjestelmän konkretisoimisessa. Välineet koostuvat:

  • kuutiosenttimetrin (1cm*1cm*1cm) kokoisista keltaisista ykköskuutioista, 
  • kymmenen ykkökuution (1cm*1 cm*10 cm) kokoisista vihreistä kymppisauvoista,
  • sadan ykköskuution tai kymmenen kymppisauvan (1cm*10 cm*10cm) kokoisista sinisistä satalevyistä ja 
  • tuhannen ykköskuution, sadan kymppisauvan tai kymmenen satalevyn (10cm*10cm*10cm) kokoisesta punaisesta tuhatkuutiosta.


ELLIN Kymppivälineet -pakkaus sisältää kahden oppilaan parityöskentelyyn sopivan määrän kymmenjärjestelmävälineitä, litrakuution, sekä kuvallisen ohjeen työskentelyyn


Kymmenjärjestelmävälineiden (ja myöhemmin myös desimaaliosien) rakenne, eli kymmenestä kuutiosta rakentuu sauva, kymmenestä sauvasta rakentuu levy, ja kymmenestä levystä rakentuu jälleen uusi kuutio, auttaa ymmärtämään eri lukuyksiköiden suhdetta toisiinsa:

  • Kun kymmenjärjestelmävälineet on aseteltu kokonsa perusteella suuruusjärjestykseen, niiden avulla on helppo nähdä, että yhtä suurempi väline tai lukuyksikkö on aina kymmenenkertainen, ja yhtä pienempi väline tai lukuyksikkö on aina kymmenesosa valitusta välineestä.
  • Samanmuotoiset, mutta eri kokoiset välineet (esim. tuhatkuutio, ykköskuutio ja tuhannesosakuutio ja myöhemmin kuutiometri) ovat aina tuhannesosia toisistaan/tuhatkertaisia toisiinsa nähden. 
Luku 1256 aseteltuna kymmenjärjestelmäalustalle


Kymmenjärjestelmän lisäksi kymmenjärjestelmävälineet auttavat konkretisoimaan kaikkia peruslaskutoimituksia. Oppilas oppii muuttamaan lukuyksiköitä toisikseen, minkä pohjalta on helppo opettaa, miten esimerkiksi yhteenlaskun, vähennyslaskun ja kertolaskun algoritmien muistinumerot toimivat, kuinka vähennyslaskualgoritmin seuraavasta lukuyksiköstä lainaaminen tai lukuyksikön yli lainaaminen tapahtuu, tai mikä on jakolaskualgoritmin jakojäännös. Lopulta harjoittelun tuloksena oppilas pystyy irtautumaan kymmenjärjestelmävälineiden käytöstä, ja laskemaan peruslaskutoimituksia paperille tai päässään siten, että ymmärtää suorittamiensa laskutoimitusten perusteet.


Kymmenjärjestelmävälineillä harjoittelun tavoitteet ovat, että oppilas:

  • ymmärtää kaksinumeroisten lukujen rakenteen,
  • kuulee luvut oikein,
  • osaa yhdistää lukuun oikean mielikuvan (esimerkiksi 4K ja 6Y, eli 46),
  • Pystyy hahmottamaan materiaalilla asetellun lukun mielikuvana, eli pystyy työskentelemään kuvitteellisilla välineillä,
  • osaa kirjoittaa ja lausua luvun oikein, sekä
  • tunnistaa kirjoitetusta luvusta kymmenet ja ykköset.
(Lähde: Matikkaluotsi)


ELLIssä myynnissä olevat kymmenjärjestelmävälineet:



Taululle tarkoitetut magneettiset kymmenjärjestelmävälineet ovat hyvä työkalu opettajalle: niiden avulla voi näyttää helposti, kuinka paljon mitäkin välinettä tarvitaan laskun ratkaisemiseksi.


Kymmenjärjestelmäalustat

 

Kymmenjärjestelmäalusta, tai paikkajärjestelmäalusta, auttaa ymmärtämään kymmenjärjestelmän rakennetta: Luvut rakentuvat ykkösistä, kympeistä, satasista, tuhansista, ja niin edelleen, ja toisaalta kymmenesosista, sadasosista, tuhannesosista ja niin edelleen. Kymmenjärjestelmäalustalla on helppo opetella lukujen yhteen- ja vähennyslaskua, monikertoja ja jakamista. Myös käsitteiden kymmenkertainen ja kymmenesosa konkretisointi on helppoa. Lisätietoa kymmenjärjestelmäalustan käytöstä löytyy mm. KYMPPI-kirjasta.

ELLIssä on kaksi erilaista kymmenjärjestelmäalustaa: A3-kokoinen laminoitu kaksipuolinen kymmenjärjestelmäalusta ja kankainen, yksipuolinen kymmenjärjestelmäalusta. Kumman sitten valitsisi?

Kaksipuolisessa kymmenjärjestelmäalustassa voidaan vaihtaa puolta sen mukaan, käytetäänkö laskuissa desimaaliosia. Toisaalta kankaisessa kymmenjärjestelmäalustassa tarpeettomat lukuyksiköt voi taittaa kymmenjärjestelmäalustan alle. Vaikka kankaisenkin kymmenjärjestelmäalustan voi pestä, laminoitu alusta kestää sotkua paremmin. Toisaalta kankainen kymmenjärjestelmäalusta on helppo taitella liikkuvassa työssä mukaan, laminoitua kymmenjärjestelmäalustaa ei kannata taitella. Lisäksi kankaisessa kymmenjärjestelmäalustassa on kolme päällekkäistä lokeroa lukuyksiköille, kun laminoidussa on vain kaksi. Riippuu siis käyttötarkoituksesta, kumpi kymmenjärjestelmäalusta kannattaa hankkia.


Laminoitu kymmenjärjestelmäalusta ja kymmenjärjestelmävälineet

Kankaisen kymmenjärjestelmäalustan voi taittaa kuljetusta tai säilömistä varten. Myös ylimääräiset sarakkeet voi poistaa taittamalla ne alustan alle.


 Kymmenjärjestelmänopat

 

Kymmenjärjestelmänopissa on luvut 0-9 ja pussin neljä noppaa vastaavat väreiltään kymmenjärjestelmävälineitä. Noppia heittämällä voidaan määritellä, mikä luku kymmenjärjestelmävälineillä rakennetaan. Jos siis heittää kymmenjärjestelmänopilla kuvan mukaiset silmäluvut, pitää kymmenjärjestelmäalustalle rakentaa välineillä luku 7285, eli 7 punaista tuhatta, 2 sinistä satasta, 8 vihreää kymppiä ja 5 keltaista ykköstä.

Yhdessä paketissa on neljä kymmenjärjestelmänoppaa: punainen, sininen, vihreä ja keltainen


Satataulut

 

Satataulut konkretisoivat lukualuetta 1-100. Niitä käytetään erityisesti lukualueeseen 1-100 tutustuttaessa, peruslaskutoimitusten harjoittelun alkuvaiheessa ja kertotaulujen opettelussa.

Seinälle ripustettava satatasku koostuu sadasta taskusta ja niihin aseteltavista kaksipuolisista korteista. Korteissa on molemmilla puolilla sama luku, mutta toisella puolella luku on kirjoitettu punaisella tekstillä valkoiselle taustalle, ja toisella puolella valkoisella tektsillä punaiselle taustalle. Kääntämällä punaisella taustalla olevan puolen esiin satataulussa voi korostaa vaikkapa mitkä luvut lisäämällä tai vähentämällä saadaan tietty luku, tai mitkä luvut kuuluvat tiettyyn kertotauluun.

Satataskun voi ripustaa seinälle koukkuihin sen yläreunoissa olevista reijistä. Kevyehkön taulun voi myös teipata seinälle.

Satataskun mukana tulee myös lukumerkkikortteja

Magneettinen satataulu sopii hyvin opettajan työkaluksi magneettitaululle. Sillä voi rakentaa erikseen myös lukualueet 1-10 tai 1-20. Mukana paketissa on sinisiä ja punaisia rinkuloita, joilla voi korostaa lukuja, sekä sinisiä ja punaisia ympyröitä, joilla voi peittää haluamansa luvut.


Magneettisella satataululla ja sen mukana tulevilla sinisillä ja punaisilla ympyröillä voi harjoitella myös hajotelmia lukualueella 0-20


Satataskuliuskat ja kortit -tuotteessa on mukana 12 toisiinsa tarranauhalla kiinnittyvää korttitaskua, sekä isot liukaspintaiset kortit lukualueelle -20-120. Korttien määrä perustuu Australian opetussuunnitelmaan, jossa satatauluun lisätään numeroita yli ja alle sadan, jotta oppilaat ymmärtäisivät, kuinka lukujono jatkuu nollasta alaspäin ja satasesta ylöspäin: ei ole harvinaista, että oppilaat osaavat satasen ylitettyään luetella luvut 101-109, mutta ajattelevat, että luvun 109 jälkeen tulisi jo 200.

Liuskojen isot korttitaskut sopivat myös muiden korttien näyttämiseen. Suurin osa ELLIn toiminnanohjauskorteista mahtuu taskuihin, ja lisäksi materiaalin omien numerokorttien kääntöpuolia voi käyttää hyödyksi, esimerkiksi kirjoittamalla niihin tussilla aakkoset tai laskumerkkejä.

 

Satataskuliuskat kiinnittyvät toisiinsa tarranauhalla, joten niistä voi satataulun lisäksi rakentaa lukujonon

Sata muurahaista retkellä on pulpetille hyvin mahtuva satataulupeli. Pelilauta on tehty valkotaulumateriaalista, joten sen kääntöpuolella olevalle tyhjälle sataruudukolle voi piirtää taulutussilla. Paketissa on mukana 50 keltaista muurahaista ja 50 sinistä muurahaista, sekä peliohjeet, joissa on erilaisia vinkkejä lukualueeseen tutustumiseen pelin avulla. 

 

Sata muurahaista retkellä -pelin erilaisiin käyttötapoihin voi tutustua ELLIN verkkokaupasta löytyvän ohjeen avulla

 

  Mittayksikkötaulut ja -kortit


Kymmenjärjestelmän puutteellinen hallinta näkyy erityisesti mittayksiköitä käsitellessä. Millit, sentit, desit, kuutiot, hehtot, dekat ja mitä niitä on... Ja ne piti osata vielä tietyssä järjestyksessä. Mittayksikköjenkään kohdalla ei ole varmaan yllätys, että jos mittayksiköt opettelee vaan ulkoa loruina, eikä ymmärrä, että mittayksiköt jos mitkä ovat konkreettisia ja arkielämässä tarvittavia käsitteitä, niin ennemmin tai myöhemmin yksikkömuunnokset menevät metsään, tai siis ainakin väärälle hehtaarille siellä kuuluisassa metsässä.

Mittayksikkötaulut ja -kortit materiaalissa mittayksiköt pituus, massa, tilavuus litroina, pinta-ala, sekä tilavuus kuutiona, liitetään arkielämän tukipisteisiin. Esimerkiksi pinta-alan tukipisteitä ovat sormenjälki (neliösenttimetri), kämmen (neliödesimetri), ikkuna (neliömetri), kasvimaa (aari) ja parkkipaikka (hehtaari), kun taas massan tukipisteitä ovat höyhen (senttigramma), tulitikku (desigramma), rusina (gramma), tikkari (dekagramma), suklaalevy (hehtogramma). Materiaalissa on mittayksikkötaulujen ja -korttien lisäksi mukana ohje, jossa opastetaan, kuinka mittaamisen avulla oppilaille voidaan tarjota omakohtaisia kokemuksia eri mittayksiköistä. ELLIN verkkokaupasta voi myös ladata Hannele Ikäheimon mittayksiköiden osaamista kartoittavat mittayksikkökartoitukset 1 ja 2.



Desimaaliosat

 

Desimaalilukujen ymmärtäminen on monille hankalaa. Ne tuntuvat vain ikävältä ja abstraktilta sarjalta lukuja pilkun jälkeen. Desimaaliosat konkretisoivat mistä on kyse: kymmesosalevy on oikeasti kymmenesosa kymmenjärjestelmävälineiden keltaisesta ykköskuutiosta. Sadasosasauva on sadasosa keltaisesta ykköskuutiosta ja kymmenesosa kymmenesosalevystä. Pikkiriikkinen tuhatosahippu on tuhannesosa keltaisesta ykköskuutiosta, sadasosa kymmenesosalevystä ja kymmenesosa sadasosasauvasta. Kokeile vaikka itse, jos sorminäppäryytesi riittää!

Desimaaliosat ovat pieniä: kymmenesosat ovat kooltaan 10mm*10mm*1mm, sadasosat 10mm*1mm*1mm ja tuhannesosat 1mm*1mm*1mm

Desimaaliluku rakennettuna kymmenjärjestelmäalustalle
Koska pienten desimaaliosasten säilyttäminen on hankalaa, ELLI kehitti muovisen rasian, Elliboksin, jossa on jokaiselle desimaaliosalle oma paikkansa.

Elliboksissa on oma lokero kymmenesosille, sadasosille ja tuhannesosille. Rasiasta saa tiivin asettamalla valkoisen lokerikon alle ohuen palasen pahvia tai muuta vastaavaa.


Kuutiometri

 

Desimaaliosien lisäksi kymmenjärjestelmän hallintaa voidaan laajentaa toiseen suuntaan, eli suurempiin lukuihin: kun toisiinsa kiinnittyvistä rimoista rakennetaan kuutiometri, oppijat tutustuvat paitsi kuutiometriin, myös arkielämässä yleiseen neliömetrin käsitteeseen. Kuinka monta villakoiraa mahtuu kuutiometriin? (Yksi, jos Korpulta kysytään). Kuutiometrimalleja ELLIssä on myynnissä kaksin kappalein: kuvassa näkyvä, toisiinsa kiinnittyvä harmaa kuutiometri, sekä toisiinsa liitospalasilla kiinnittyvä punainen kuutiometri.

Korppu tuumii: Kuinka monta kuutiosenttimetriä mahtuu kuutiodesimetriin? Kuinka monta kuutiodesimetriä mahtuu kuutiometriin? Entä kuinka monta kuutiosenttimetriä mahtuu kuutiometriin? Huh, varmaan ainakin yhtä monta, kuin koiran mahaan mahtuu nakkeja, ja se on tosi monta!


Hannele Ikäheimon KYMPPI-sarja

 

Kymmenjärjestelmän opetuksesta voi lukea lisää KYMPPI-kartoituksesta ja KYMPPI-kirjasta. Ensimmäinen sisältää kaksi eritasoista kartoitusta, joilla mitataan oppilaiden kymmenjärjestelmän hallintaa, toinen sisältää kaiken mitä Hannele Ikäheimo tietää kymmenjärjestelmän opetuksesta. Eli painavaa asiaa, painavassa kirjassa! Molemmat kirjat voi myös ostaa pakettihintaan KYMPPI-paketissa.

KYMPPI-kartoituksen kartoitusosa on saatavilla också på svenska!






Jos haluat tietää lisää kymmenjärjestelmän opetuksesta, kannattaa lukea vuonna 2017 Oulun yliopistossa valmistunut Tytti Nissilän gradu "Ei oo sillee aateltu ku lisätään vaan nollia perään eikä siirretä pilkkua": Kymmenjärjestelmän ja mittayksiköiden muunnosten hallinta peruskoulun kuudennella luokalla.


Kiitos Hannele Ikäheimolle tämän kirjoituksen tarkistamisesta ja täydentämisestä!